Fuori uno, ne mancano sei

Due giorni fa, il 18 marzo, al matematico russo Grigori Perelman è stato ufficialmente assegnato il Millennium Prize per aver dimostrato la congettura di Poincaré, che attendeva di essere risolta da quasi un secolo. Poincaré la ipotizzò nel 1904, e la soluzione di Perelman è stata pubblicata nel 2002/03. Dopo un lungo esame, la comunità scientifica ne accettò la validità nel 2006, e solo adesso il problema è stato depennato dalla lista del Clay Institute. La lunga attesa, naturalmente, è dovuta al fatto che la dimostrazione ha dovuto essere esaminata fin nei minimi dettagli da altri matematici per essere sicuri che non abbia alcun punto debole.

La congettura di Poincaré era infatti uno dei sette "problemi del millennio" che il Clay Mathematics Institute aveva posto alla comunità dei matematici nel 2000: sette questioni ancora aperte e di particolare importanza, che attendono una dimostrazione (o una controdimostrazione) da parecchio tempo. Per ognuno dei solutori è previsto un ricco premio in denaro, pari a un milione di dollari (il cosiddetto "Millenium Prize"). Finora la congettura di Poincaré è l'unico dei sette problemi a essere stato risolto.

Cosa dice questa congettura (anzi, ormai dovremo chiamarla teorema, visto che è stata dimostrata)? Si tratta di una questione di topologia che essenzialmente estende a uno spazio con 3 dimensioni (una 3-varietà) una proprietà che da tempo si sapeva valida per uno in 2 dimensioni, ovvero che la sfera è l'unica superficie chiusa "semplicemente connessa" (ovvero "senza buchi"), dove ogni cammino chiuso può essere contratto fino a ridursi a un punto. Per la precisione: ogni superficie bidimensionale con queste caratteristiche – cioè chiusa, compatta e senza bordi – è "omeomorfa" alla superficie di una sfera (ricordo infatti che, anche se la sfera è un oggetto immerso in tre dimensioni, la sua superficie è bidimensionale: ogni punto può essere individuato attraverso solo due variabili, come la latitudine e la longitudine). Che questo valesse anche per superfici tridimensionali (3-varietà) non era affatto scontato, perché, a differenza di quelle in due dimensioni, esistono 3-varietà omologhe ma non omeomorfe alla 3-sfera.

Adesso ci si chiede se l'eccentrico Perelman accetterà il premio o lo rifiuterà, visto che nel 2006 aveva già declinato la medaglia Fields, il riconoscimento più importante per un matematico, che molti considerano l'equivalente del Nobel.